Montrer qu'une matrice \(N\) est nilpotente si et seulement si elle admet une seule valeur propre, qui est \(0\)

Déf de nilpotence
\(\implies\) : si \(N\) est nilpotente, alors il existe \(p\in{\Bbb N}\) tq \(N^p=0\)

Alors, si \(\lambda\) est une valeur propre, et \(x\) un vecteur propre, $$N^px=\lambda^px\implies \lambda^p=0\quad\text{ car }\; x\neq0$$ donc \(\lambda=0\) est la seule valeur propre

\(\impliedby\) : soit \(\lambda=0\) la seule valeur propre de \(N\)
Alors \(P_N(x)=x^n(-1)^n\) (sinon il y a d'autres racines)

Et d'après le théorème de Cayley-Hamilton, \(P_N(N)=0\implies(-1)^nN^n=0\)

(Théorème de Cayley-Hamilton)

Soit \(n\) un entier strictement supérieur à \(1\)
Soit \(A\) une matrice \(n\times n\) telle que \(A^n=0\) et \(A^{n-1}\neq0\)
Soit \(x_0\) un vecteur de \({\Bbb R}^n\) tel que \(A^{n-1}x_0\neq0\)
Montrer que \((x_0,Ax_0,A^2x_0,\ldots,A^{n-1}x_0)\) est une base de \({\Bbb R}^n\)
Comment s'écrit la matrice \(A\) dans cette base ?

Initialisation du raisonnement par l'absurde
Il faut vérifier l'indépendance linéaire
Soient \(a_0,\ldots,a_{n-1}\in{\Bbb R}\) tels que \(a_0x_0+a_1Ax_0+\ldots+a_{n-1}A^{n-1}x_0=0\)
Montrons que \(a_0=a_1=\cdots=a_{n-1}=0\)

On multiplie par \(A^{n-1}\) : $$a_0A^{n-1}x_0+a_1A^nx_0+\ldots+a_{n-1}A^{2n-2}x_0=0$$ or, d'après l'hypothèse, \(A^k=0\quad\forall k\geqslant n\)
On a donc $$a_0A^{n-1}x_0=0$$
Puisque \(A^{n-1}x_0\neq0\), on a \(a_0=0\)

On recommence pour chaque élément de la somme en enlevant le premier terme (puisqu'on a montré que \(a_0=0\))
On a montré que les \(x_0,\ldots,A^{n-1}x_0\) sont indépendants
Comme leur nombre est \(n=\operatorname{dim}{\Bbb R}^n\), ils forment une base

Si \(P=(x_0,Ax_0,\ldots,A^{n-1}x_0)\), la matrice de passage est : $$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0\\ 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{ccc|c}0&\cdots&\cdots&0\\ \hline&&&\vdots\\ &I_{n-1}&&\vdots\\ &&&0\end{array}\right)$$